CHƯƠNG 2 CÁC KĨ THUẬT KHÁC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM (PHẦN 2)
Trong chương hai này, tôi xin giới thiệu một số kĩ thuật khác cũng được sử dụng thường xuyên khi giải phương trình hàm, bao gồm điểm bất động, thêm biến, tính bằng hai cách, NQR, dãy số và sử dụng bất đẳng thức. Những phương pháp này nếu sử dụng hợp lí sẽ là một bước quan trọng để chúng ta giải quyết các bài toán phương trình hàm. Trong phần 2 này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu hai phương pháp tiếp theo đó là TÍNH BẰNG HAI CÁCH và NQR.
2.3: TÍNH BẰNG HAI CÁCH
Bài toán 25: Tìm tất cả hàm số cộng tính và thỏa mãn :
Vì hàm số
+) Trong (1) thay
Mặt khác ta có :
Từ đó ta suy ra:
Mặt khác ta lại có :
Kết hợp với (3) ta suy ra:
Ta có:
Thay vào (4) ta được:
Đặt
Thử lại ta thấy hàm số này thỏa mãn điều kiện bài toán.
Bài toán 26: Tìm tất cả hàm số thỏa mãn :
Nhận xét: Nếu hàm số
Thật vậy trong (5) thay
Ta có :
Do đó, từ nhận xét trên nên ta chỉ cần xét trường hợp
+) Trong (5) thay
+) Trong (5) thay
Từ (5) ta có :
Ta có:
Mặt khác ta có :
Nên thay vào (6) ta suy ra :
Nếu
Ta xét trường hợp tồn tại số thực
+) Trong (7) thay
Vi
Thử lại ta thấy hai hàm số
Kết hợp với Nhận xét ta đã chứng minh ở trên ta suy ra được tất cả các hàm số thỏa mãn bài toán là
Bài toán 27: Tìm tất cả hàm số thỏa mãn :
+) Thay
Nếu
+) Thay
Giả sử tồn tại
Tacó:
+) Trong (8) thay
Mặt khác nếu tồn tại
Thay
Nên ta có
Từ đó ta suy ra
Vậy ta có hàm số
+) Trong (9) thay
Do ta có hàm số
Kết hợp
+) Trong (8) thay
+) Trong (8) thay
+) Trong (8) thay
Sử dụng (8), (9’), (10), (11), (12) ta có:
Do đó ta có
Thay
Do
Két hop
Thử lại ta thấy hàm số
2.4: PHƯƠNG PHÁP NQR
Ý tưởng chính của phương pháp NQR đó là ta sẽ tính giá trị của hàm số trên các tập hợp “nhỏ” hơn(và tất nhiên sẽ dễ dàng để tính hơn)
như là